😫Chapter 7 正弦稳态分析

by mjuicem

复数的基本概念

欧拉公式： $e^{j\varphi} = cos\varphi + jsin\varphi$

$e^{-j\varphi} = cos\varphi - jsin\varphi$

复数：$z = a + bj$

​ $z^* = a - bj$

​ $a = Re[z]$ ， $b = Im[z]$

复数的极坐标形式:

因为$a = rcos\varphi$，$b = rsin\varphi$

所以 $z = r(cos\varphi + jsin\varphi)$

复数的指数表达形式:

$z = r(cos\varphi + jsin\varphi ) = re^{j\varphi} = r\angle \varphi$

复数的运算：

• 加法：$z_1 = a_1 + b_1j$ ，$z_2 = a_2 + b_2j$ => $z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)j$

Tips：当进行相量加法时，应用复数的正常形式进行运算

• 乘法：$z_1 = r_1e^{j\varphi_1} = r_1\angle \varphi_1$，$z_2 = r_2e^{j\varphi_2} = r_2\angle \varphi_2$ => $z1 * z2 = r_1r_2\angle \varphi_1 + \varphi_2$

• 除法: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r1}{r2}\angle \varphi_1 - \varphi_2$

相量变换与反相量变换

正弦函数的 相量(phasor) 是含幅值和相位角的复数，欧拉公式给出了指数函数和三角函数的关系

正弦电源：$v(t) = V_mcos(wt + \varphi) = Re[V_m(cos(wt+\varphi) + jsin(wt+\varphi))] = Re[V_me^{j(wt + \varphi)}]$

可以注意到$V_me^{j\varphi}$是一个既包含正弦函数幅值和相位角的复数，我们称这个复数为给定正弦函数的相量

相量（Phasor)： V = $V_me^{j\varphi}$

相量变换: 我们称$P[V_mcos(wt+\varphi)]$ 为$V_mcos(wt + \varphi)$的相量变换

其中$P[V_mcos(wt+\varphi )] = V_me^{j\varphi} = V_m\angle \varphi$

反相量变换: 反相量变换即为相量变换的逆运算

$P^{-1}[V_me^{j\varphi}] = V_mcos(wt + \varphi)$

相量变换的作用：

Phasor transform transfers the sinusoidal function from time domain to phasor domain, which is also called frequency domain

频率域下的无源电路元件

阻抗(impedance)：$\hat{Z}$

电阻： $\hat{V} = R\hat{I} \Rightarrow Z_R = R$

电感：$\hat{V} = \frac{1}{jwC} \hat{I} \Rightarrow Z_L = jwL$

电容：$\hat{V} = jwL\hat{I} \Rightarrow Z_c = \frac{1}{jwC}$ *Tips：*注意电容和电流的正负关系

频率域下的KCL和KVL

KCL:$\sum \hat{I} = 0$

KVL: $\sum \hat{V} = 0$

频率域下的电压电流、阻抗串并关系不发生改变